Quelques notes historiques sur l’introduction de la trigonométrie et en particulier du radian.

La trigonométrie à travers les siècles

(d’après la "Petite histoire de la trigonométrie" de Jean Lefort, parue dans l’Ouvert de juin 98)

Très tôt dans l’histoire de l’humanité s’est inscrit le désir de mesurer des phénomènes apparemment réguliers, comme le retour des saisons, le déplacement des planètes.

Mesurer dans le but de prévoir et ainsi apprivoiser ces phénomènes qui, croyaient-ils, influençaient leur vie.

Or, noter la position des étoiles sur la voûte céleste ne se fait correctement qu’au moyen des angles, notion qui apparaît déjà dans les premiers écrits des Sumériens connus ; comme les étoiles (se décalent chaque jour) font un tour complet en une année, le peuple Sumer choisit la 360^e partie du cercle pour des raisons qui tiennent à la fois à la durée de l’année et à leur système de numération de base 60.

Le degré, unité sexagésimale, est né !

Origine du mot " sinus " :

La trigonométrie, art de mesurer des angles, apparaît dans les travaux d’Hipparque (2^ème siècle avant J-C) basés sur le partage du cercle en 360 ° et les tables astronomiques des babyloniens ; le but de ses recherches était la prédiction des phénomènes astronomiques réguliers, tels la précession des équinoxes, l’inclinaison écliptique.

Or seuls les longueurs d’une corde et les mesures d’angles étaient alors accessibles à l’observation ; il fallut donc disposer de théorèmes – notamment les théorèmes de Ptolémée – permettant de passer du segment de droite à l’arc de cercle afin de calculer les longueurs des trajectoires : le calcul trigonométrique était né, dont les processus de calcul de p ne sont qu’une retombée !

Ptolémée compléta les travaux d’Hipparque et construisit la célèbre table des cordes de demi degré en demi degré dans l’ouvrage l’Almageste.

Le grand mathématicien hindou Âryabhata (476 – ~ 550) s’appuie sur les précédents travaux pour dresser une table des sinus, qui permet à partir de la mesure de la demi-corde de calculer la hauteur d’une étoile au-dessus de l’horizon. Le mystère de ce tableau est le choix d'un cercle de rayon 3488, ce qui est environ la valeur de 1 radian en minutes d’angle.

1 rad = degrés = minutes 3437,70 minutes.

En 773, un savant indien arriva à la capitale culturelle de l’empire musulman oriental, et transmit les connaissances mathématiques de son pays, notamment la tables des sinus. Le calife ordonna que l’on traduise le traité indien en arabe.

Quelques siècles plus tard, c’est au tour de l’Europe de connaître un florissement dans le domaine des sciences, et de nombreux textes scientifiques de l’époque sont traduits, en particulier le traité sur les sinus, déjà traduit en arabe. Et lorsque le traducteur Gérard de Crémone rencontra le mot "jiba" utilisé pour le sinus, il le confondit avec le mot "jaib" signifiant "poche, cavité", et qui donna le mot sinus en latin ! (Cette confusion est due au fait que, comme on n’écrit pas les voyelles en arabe, les deux mots avaient la même écriture.)

Le radian

(d’après le Dictionnaire des mathématiques élémentaires de Stella BARUK)

Le degré fut utilisé pendant plus de 2 000 ans. Ce n’est qu’en 1873 qu’apparaît pour la première fois le mot radian, imprimé dans des textes d’examens proposés au Queen’s College de Belfast par James Thomson, même si cette émergence était préparée par plus d’un demi-siècle d’utilisation implicite.

Les intérêts de cette nouvelle unité sont multiples :

• cette unité apparaît plus " naturelle " ; s’il est difficile, sans instruments adaptés, de diviser le cercle en 360 °, il est aisé de disposer du rayon du cercle qui devient ainsi l’unité d’arc.

• il y a la correspondance simple entre longueur d’arc, angle et rayon : L = R a . Un arc représente autant de radians qu’il mesure de rayons ; ainsi sur un cercle de rayon unité, la mesure de la longueur d’un arc avec cette unité, sa mesure en radians ainsi que celle de l’angle qui s’y rapporte s’expriment par le même nombre. Cette propriété ne vaut que pour les radians, car le calcul ne peut être évité pour les degrés.

• Importance pour l’étude des fonctions trigonométriques.

Si x (en radian) est petit, MH » arc MA ,soit sin x » x.

Cette formule n’est évidemment pas valable lorsque x est mesuré en degré, car la longueur de l’arc MA vaut alors (unités de longueur).

Exemple :

1° » 0,017453 rad

sin 1° » 0,017452

La différence est inférieure à 1cent-millième.

Le fait de pouvoir confondre, pour les " petits " angles, leur sinus avec leur mesure en radians joue un rôle particulièrement important pour l’étude des fonctions trigonométriques (étude locale ; calcul infinitésimal, en particulier la formule de dérivation (sin x)’ = cos x)

Le radian apparaît légalement en France par décret du 3 mai 1961 sur les unités de mesure (Système international d’unités ou SI).

Qu’en est-il de la troisième unité : le grade ?

(d’après le Dictionnaire des mathématiques élémentaires de Stella BARUK)

Le degré n’était pas adapté à la mesure des longueurs de trajets le long des méridiens. En effet, d’après le système métrique décimal, le quart du méridien terrestre a une longueur de 10 000 km, ce qui correspond a un angle au centre de 90°.

La longueur parcourue est donc de :

• pour 1° :

• pour 1' d’angle :

Une division naturelle du quadrant en 100 s’imposait alors : 100 unités d’arcs correspondent à une distance sur le méridien de =100 km.

Seuls les géodésiens et les topographes l’emploient encore couramment, les astronomes et les marins lui préfèrent la division du cercle en degré, enracinée dans plus de deux millénaires d’usage.

Quant aux 1852 m qui correspondent à une minute d’angle, ils constituent bien une unité toujours utilisée : c’est le mille marin.