LIMITES ET FONCTION LN.

PRELIMINAIRES.

Rappels.

E(x) £ x < E(x)+1

, signifie " pour tout x très grand positif, f(x) est très grand positif "

Propriété

Un nombre réel positif est très grand si et seulement si il est supérieur à tout entier modéré.

Démonstration :

Partie directe :

Réciproque : (utiliser la partie entière)

 

 

 

LIMITE DE LA FONCTION LN EN +¥ .

Démontrons que :

Méthode " classique "

Soit A>0

  1. Soit n = E. En déduire un encadrement de A.
  2.  

  3. En déduire un nombre B tel que x>B entraîne f(x)>A
  4.  

  5. Conclure.

Méthode utilisant les " ordres de grandeur "

  1. Soit w un nombre réel très grand positif. Montrer que w >en pour tout entier n modéré.
  2.  

  3. En déduire que ln(w) >n pour tout nombre entier naturel modéré.
  4.  

  5. Conclure.

 

 

LIMITE DE LA FONCTION LN EN 0.

Démontrons que :

Effectuer un changement de variable judicieux.

 

Donner une interprétation graphique de ce résultat.

 

LIMITE DE EN +¥

Démontrons que :

Soit la fonction g définie sur R*+ par g(x) = lnx - .

  1. Etudier g et prouver que, pour tout x>0, on a : lnx < .
  2. Conclure.

On interprète graphiquement cette limite en disant que la représentation graphique de ln admet Ox pour direction asymptotique, qui traduit une " croissance faible " pour ln

LIMITE DE x.lnx EN 0.

Démontrons que :

Effectuer un changement de variable judicieux

 

LIMITE DE EN 0.

Démontrons que :

  1. En remarquant que ln1 = 0, à quoi correspond cette limite ?
  2. Conclure.

Interpréter graphiquement cette limite.

 

 

 

 

 

 

Interpréter cette limite en termes de " nombres très proches "

 

 

 

Interpréter cette limite en termes d’approximation affine.